1. Espacios vectoriales

En esta sección estudiaremos uno de los conceptos más centrales del álgebra lineal que es el de espacio vectorial. La idea es tomar ciertas propiedades de $\mathbb{R}^{n}$ y generalizarlas adecuadamente.

Definición: Sea $V$ un conjunto en el cual dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por escalar han sido definidas. Si $u$ y $v$ son elementos de $V$, la suma de $u$ y $v$ se denotará por $u+v$. Si $c$ es un escalar, el múltiplo escalar de $u$ por $c$ se denotará por $cu.$
Si las siguientes condiciones son válidas para todo $u,v,w\in V$ y para todo escalar $c$ y $d,$ entonces $V$ se denomina un espacio vectorial y sus elementos serán llamados vectores.

1. $u+v\in V$. Esta propiedad se llama clausura bajo la suma.
2. $u+v=v+u$. Conmutatividad.
3. $(u+v)+w=u+(v+w).$ Asociatividad.
4. Existe $\mathbf{0}\in V$ tal que $u+\mathbf{0}=u$. Esta propiedad se llama existencia del vector cero.
5. Para cada $u\in V$ existe $-u\in V$ tal que $u+(-u)=\mathbf{0}.$ Existencia del vector inverso.
6. Si $c$ es un escalar y $u\in V$, entonces $cu\in V$. Esta propiedad se llama clausura bajo el producto por escalar.
7. $c(u+v)=cu+cv$. Distributividad
8. $(c+d)u=cu+du$. Distributividad
9. $c(du)=(cd)u$.
10. $1u=u$.

Observaciones:

1. Cuando decimos escalares nos referiremos a números reales. Por lo tanto, deberíamos decir que $V$ es un espacio vectorial real. También es posible que los escalares sean números complejos; en cuyo caso, $V$ sería un espacio vectorial complejo. En este curso, cuando digamos espacio vectorial nos estamos refiriendo a un espacio vectorial real.
2. La definición de espacio vectorial no especifica de que está compuesto $V$. Tampoco especifica que las operaciones "suma" y "multiplicación por escalar" sean las operaciones a las que estamos acostumbrados. Esta observación se aclarará con los siguientes ejemplos.

Ejemplos:

1. Para $n\geq 1:\mathbb{R}^{n}$ es un espacio vectorial con la adición y la multiplicación por escalar usuales.
2. El conjunto de las matrices de orden $m\times n$ es un espacio vectorial con las operaciones de adición de matrices y el producto de un escalar por una matriz. Este espacio vectorial se denotará por $M_{m\times n}$.
3. Sea $\mathcal{P}_{2}$ el conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual a $2$, con coeficientes reales, es decir, $$\begin{equation*} \mathcal{P}_{2}=\left\{ a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\mid a_{0},a_{1},a_{2}\in \mathbb{R}\right\}. \end{equation*}$$ Definamos la adición y multiplicación por escalar como se muestra a continuación: dados $p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}$ y $q(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}$ en $\mathcal{P}_{2}:$ $$\begin{equation*} p(x)+q(x)=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+(a_{2}+b_{2})x^{2}. \end{equation*}$$ Si $c$ es un escalar, $$\begin{equation*} cp(x)= (ca_{0})+(ca_{1})x+(ca_{2})x^{2}. \end{equation*}$$ Con las operaciones descritas anteriormente, se puede verificar que $\mathcal{P}_{2}$ es un espacio vectorial.
4. En general, dado $n\geq 1,$ el conjunto $\mathcal{P}_{n}$ de todos los polinomios de grado menor o igual a $n$ es un espacio vectorial (con operaciones análogas a las definidas en el ejemplo anterior).
5. Sea $\mathcal{F}$ el conjunto de todas las funciones con valores reales definida sobre la recta de los números reales. Si $f$ y $g$ son funciones de este tipo y $c$ es un escalar, entonces $f+g$ y $cf$ están n definidas mediante $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ y $(cf)(x)=cf(x)$. $\mathcal{F}$ junto con estas dos operaciones es un espacio vectorial.