• Está aquí:  
  • Inicio
  • Clases
  • Clases
  • Clase 23. Parte 2. Subespacios y subespacios generados

Clase 23. Parte 2. Subespacios y subespacios generados

2. Subespacios vectoriales

Definición: Un subconjunto WW de un espacio vectorial VV se denomina subespacio de VV si WW mismo es un espacio vectorial con los mismos escalares, adición y multiplicación por escalares que V.V.

Teorema: Sean VV un espacio vectorial y WW un subconjunto no vacío de VV. Entonces WW es un subespacio de VV si y sólo si

  1. Si u,v∈W,u,v∈W, entonces u+v∈Wu+v∈W, es decir, WW es cerrado bajo la suma.
  2. Si u∈Wu∈W y c∈R,c∈R, entonces cu∈Wcu∈W, es decir, WW es cerrado bajo el producto por escalar.

Ejercicio: ¿Cuál de los siguientes subconjuntos del espacio vectorial VV dado es subespacio?

  1. W={A∈Mn×n∣A es simétrica}W={A∈Mn×n∣A es simétrica} y V=Mn×n.V=Mn×n.
  2. H={f∈F∣f′′+f=−1}H={f∈F∣f′′+f=−1} y V=F.V=F.
  3. D={f∈F∣f es diferenciable}D={f∈F∣f es diferenciable} y V=F.V=F.
  4. K={A∈M3×3∣a11=a22a33}K={A∈M3×3∣a11=a22a33} y V=M3×3.V=M3×3.
  5. S={f∈F∣f′′+f=0}S={f∈F∣f′′+f=0} y V=F.V=F.
  6. G={a0+a1x+a2x2+a3x3∣a1=a2=a3}G={a0+a1x+a2x2+a3x3∣a1=a2=a3} y V=P3.V=P3.

El siguiente lema nos da una condición necesaria, pero no suficiente, para que un subconjunto sea subespacio.

Lema: Si WW es un subespacio de VV, entonces 0∈W.0∈W.

Ejemplo: ¿Es S={A∈M2×2∣a11a22=0}S={A∈M2×2∣a11a22=0} un subespacio de M2×2M2×2?
Solución: La respuesta es que SS no es subespacio de M2×2M2×2. Para ver esto, notemos que A=[0111]∈SA=[0111]∈S y B=[1110]∈S.B=[1110]∈S. Pero, A+B=[1221]∉S.A+B=[1221]∉S.

3. Conjuntos generadores

Definición: El conjunto de todas las combinaciones lineales de un conjunto de vectores S={v1,v2,…,vk},S={v1,v2,…,vk}, en un espacio vectorial V,V, se conoce como el espacio generado por v1,v2,…,vkv1,v2,…,vk y se denota por gen(v1,v2,…,vk)=gen(S).gen(v1,v2,…,vk)=gen(S). Si V=gen(S),V=gen(S), SS se denomina un conjunto generador para VV y se dice que VV es generado por SS.

Teorema: gen(v1,v2,…,vk)gen(v1,v2,…,vk) es un subespacio de V.V.

Ejemplo: Muestre que H={asen(x)+bcos(x)∣a,b∈R}H={asen(x)+bcos(x)∣a,b∈R} es un subespacio de F.F.

Solución: Notemos que H=gen(senx,cosx).H=gen(senx,cosx). Por el teorema anterior, HH es un subespacio de F.F.

Ejemplo: Muestre que W={a0+a1x+a2x2+a3x3∣a1−a2−a3=0}W={a0+a1x+a2x2+a3x3∣a1−a2−a3=0} es un subespacio de P3.P3.

Solución: Como a1=a2+a3,a1=a2+a3, tenemos que a0+a1x+a2x2+a3x3=a0⋅1+a2(x+x2)+a3(x+x3).a0+a1x+a2x2+a3x3=a0⋅1+a2(x+x2)+a3(x+x3). Luego, W=gen(1,x+x2,x+x3).W=gen(1,x+x2,x+x3). Por tanto, WW es un subespacio de P3.P3.

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.