1. Transformaciones Lineales
Definición: Sean y espacios vectoriales. Una transformación lineal de a es una función tal que para todo y todo escalar
Ejemplo: ¿Cuál de las siguientes funciones es una transformación lineal? En caso de no serlo, dé un contraejemplo.
- Sea dada por
- Considere el subespacio de (pruébelo). Sea el operador diferencial definido por
- Considere el espacio Sea el operador integral definido por
- Sea dada por
Solución:
- Sean y sea Luego, Por tanto, es una transformación lineal.
- Aplicando propiedades de la derivada se prueba que es una transformacion lineal.
- Se deja de tarea.
- No es transformación lineal. Tomemos y Luego, Así, Luego, no puede ser una transformación lineal.
Ejemplo: Sean un espacio vectorial y sea una base para Sea la función dada por Por propiedades de los vectores coordenados, tenemos que Luego, es una transformación lineal.
Ejemplo: Dado un espacio vectorial se define la transformación identidad por para todo Es fácil ver que es una transformación lineal.
Ejemplo: Sea una matriz de orden . Vimos que la transformación matricial dada por es una transformación lineal.
Teorema: Sean una transformación lineal y Entonces
Ejercicios de práctica
Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.