1. Transformaciones Lineales

Definición: Sean V y W espacios vectoriales. Una transformación lineal de V a W es una función T:VW tal que para todo u,vV y todo escalar c:

  1. T(u+v)=T(u)+T(v).
  2. T(cu)=cT(u).

Ejemplo: ¿Cuál de las siguientes funciones es una transformación lineal? En caso de no serlo, dé un contraejemplo.

  1. Sea T:Mn×nMn×n, dada por T(A)=AT.
  2. Considere el subespacio D={fFf es diferenciable} de F (pruébelo). Sea D:DF el operador diferencial definido por D(f)=f.
  3. Considere el espacio C[a,b]={f:[a,b]Rf es continua}. Sea S:C[a,b]R el operador integral definido por S(f)=abf(t)dt.
  4. Sea T:M3×3R dada por T(A)=detA.

Solución:

  1. Sean A,BMn×n y sea cR. Luego, T(A+B)=(A+B)T=AT+BT=T(A)+T(B)yT(cA)=(cA)T=cAT=cT(A). Por tanto, T es una transformación lineal.
  2. Aplicando propiedades de la derivada se prueba que D es una transformacion lineal.
  3. Se deja de tarea.
  4. No es transformación lineal. Tomemos A=I3 y c=2. Luego, T(cA)=det(2I)=23detI=8ycT(A)=2detI=2. Así, T(cA)cT(A). Luego, T no puede ser una transformación lineal.

Ejemplo: Sean V un espacio vectorial y sea B={v1,,vn} una base para V. Sea T:VRn la función dada por T(v)=[v]B,para todo vV. Por propiedades de los vectores coordenados, tenemos que T(u+v)=[u+v]B=[u]B+[v]B=T(u)+T(v)yT(cu)=[cu]B=c[u]B=cT(u). Luego, T es una transformación lineal.

Ejemplo: Dado un espacio vectorial V, se define la transformación identidad IV:VV por IV(v)=v, para todo vV. Es fácil ver que IV es una transformación lineal.

Ejemplo: Sea A una matriz de orden m×n. Vimos que la transformación matricial TA:RnRm, dada por TA(u)=Au,para todo uRn, es una transformación lineal.

Teorema: Sean T:VW una transformación lineal y u,vV. Entonces

  1. T(0)=0.
  2. T(v)=T(v).
  3. T(uv)=T(u)T(v).

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.