1. Transformaciones Lineales

Definición: Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales. Una transformación lineal de $V$ a $W$ es una función $T:V\rightarrow W$ tal que para todo $u,v\in V$ y todo escalar $c:$

1. $T(u+v)=T(u)+T(v).$
2. $T(cu)=cT(u).$

Ejemplo: ¿Cuál de las siguientes funciones es una transformación lineal? En caso de no serlo, dé un contraejemplo.

1. Sea $T:M_{n\times n}\rightarrow M_{n\times n},$ dada por $ T(A)=A^{T}.$
2. Considere el subespacio $\mathcal{D}=\left\{ f\in \mathcal{F}\mid f\text{ es diferenciable}\right\} $ de $\mathcal{F}$ (pruébelo). Sea $D: \mathcal{D}\rightarrow \mathcal{F}$ el operador diferencial definido por $D\left( f\right) =f^{\prime }.$
3. Considere el espacio $\mathcal{C}\left[ a,b\right] =\left\{ f: \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R}\mid f\text{ es continua}\right\}. $ Sea $S:\mathcal{C}\left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R}$ el operador integral definido por \begin{equation*} S\left( f\right) = \int_{a}^{b}f\left( t\right) dt. \end{equation*}
4. Sea $T:M_{3\times 3}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $T\left( A\right) =\det A.$

Solución:

1. Sean $A,B\in M_{n\times n}$ y sea $c\in \mathbb{R}.$ Luego, \begin{equation*} T\left( A+B\right) =\left( A+B\right) ^{T}=A^{T}+B^{T} =T\left( A\right) +T\left( B\right) \qquad \text{y}\qquad T\left( cA\right) =\left( cA\right) ^{T}=cA^{T}=cT\left( A\right) . \end{equation*} Por tanto, $T$ es una transformación lineal.
2. Aplicando propiedades de la derivada se prueba que $D$ es una transformacion lineal.
3. Se deja de tarea.
4. No es transformación lineal. Tomemos $A=I_{3}$ y $c=2.$ Luego, \begin{equation*} T\left( cA\right) =\det \left( 2I\right) =2^{3}\det I=8\qquad \text{y}\qquad cT\left( A\right) =2\det I=2. \end{equation*} Así, $T\left( cA\right) \neq cT\left( A\right) .$ Luego, $T$ no puede ser una transformación lineal.

Ejemplo: Sean $V$ un espacio vectorial y sea $\mathcal{B} =\left\{ v_{1},\ldots ,v_{n}\right\} $ una base para $V.$ Sea $ T:V\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ la función dada por \begin{equation*} T(v)=\left[ v\right] _{\mathcal{B}},\qquad \text{para todo }v\in V. \end{equation*} Por propiedades de los vectores coordenados, tenemos que \begin{equation*} T(u+v)=\left[ u+v\right] _{\mathcal{B}}=\left[ u\right] _{\mathcal{B}}+ \left[ v\right] _{\mathcal{B}}=T\left( u\right) + T\left( v\right) \qquad \text{y} \qquad T(cu)=\left[ cu\right] _{\mathcal{B}} =c\left[ u\right] _{\mathcal{B} }=cT(u). \end{equation*} Luego, $T$ es una transformación lineal.

Ejemplo: Dado un espacio vectorial $V,$ se define la transformación identidad $I_{V}:V\rightarrow V$ por $I_{V}\left( v\right) =v,$ para todo $v\in V.$ Es fácil ver que $I_{V}$ es una transformación lineal.

Ejemplo: Sea $A$ una matriz de orden $m\times n$. Vimos que la transformación matricial $T_{A}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}, $ dada por \begin{equation*} T_{A}\left( u\right) =Au,\qquad \text{para todo }u\in \mathbb{R}^{n}, \end{equation*} es una transformación lineal.

Teorema: Sean $T:V\rightarrow W$ una transformación lineal y $u,v\in V.$ Entonces

1. $T(0)=0.$
2. $T\left( -v\right) =-T\left( v\right).$
3. $T(u-v)=T(u)-T(v).$

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.